印度数学史概略
    



古代印度文明概况

    古代印度文明是世界主要文明之一,位于亚洲南部次大陆,包括今天印度河与恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊尔、斯里兰卡、不丹、锡金等国。
    印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼(dravidians)人的哈拉帕(harappa)青铜文化,大约到了公元前1500年左右,中亚游牧民族雅利安(aryans)人入侵印度,征服了达罗毗荼人。公元前1400至公元前1000年,雅利安人向东扩张,控制了恒河流域。公元前500年前后,恒河下游的摩揭陀国统一印度北方。大约在公元前7世纪形成了婆罗门教,随后在公元前5-6世纪前后有又出现了佛教和蓍那教。公元前518年波斯帝国侵占印度,使印度成为其一个辖区。公元前327年,马其顿王亚历山大大帝在灭波斯帝国后入侵印度河上游地区,建立莫尔雅帝国(maurya empire),并立即扩张到全印度以及中亚西亚的一些地区。公元前321年旃陀罗笈多(护月王,bc321-bc297)赶走马其顿人,推翻难陀(nanda)王朝,建立孔雀王朝,从而再次统一印度北方,恢复到印度人自己的统治时代。除公元前304年的西亚的塞流西(seleucid)王国入侵并很快媾和外,孔雀王朝国势强盛,至阿育王(aaoka,bc268-232年在位)达到极盛。此时东印度河流域在摩揭陀国的难陀王朝统治下基本统一。至公元前187年,孔雀王朝为巽加(sunga)王朝所取代。
    公元前165年前后被匈奴人击败西迁的大月氏人,于公元1世纪在中亚建立贵霜帝国,很快占领印度北部的广大地区。公元320年左右,摩揭陀国的另一旃陀罗笈多一世建立笈多王朝(gupta,320-535)统治北印度,印度进入封建社会时代。
    从5世纪始,印度文明又不断受到其它民族的侵占,先是5世纪的白匈奴人入侵,继而阿拉伯人于711年攻占印度河下游的信德;到了10世纪,信奉伊斯兰教的突厥人建立的迦色尼(ghaznavid)王朝和古尔(ghurid)王朝 (阿富汗)先后统治印度,不久印度进入德里苏丹国时期。13、14世纪又遭受蒙古人的侵扰,成吉思汗后裔建立的帖木儿帝国于1398年攻入印度,后于16世纪在印度建立了莫卧儿帝国。18世纪以后,莫卧儿帝国国势危弱,常受波斯、阿富汗等国的侵掠,后来英国人乘虚而入,1757年印度沦为英国殖民地,最终莫卧儿帝国于1857年灭亡。


古代印度数学

    印度数学的数学发展可以划分为三个重要时期,首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期,史称河谷文化;随后是吠陀时期;其次是悉檀多时期。由于河谷文化的象形文字至今不能解读,所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少。
    印度数学最早有文字记录的是吠陀时代,其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中,年代很不确定,今人所考定的年代出入很大,其年代最早可上溯到公元前10世纪,最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda,原意为知识、光明,《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等,这些材料最初由祭司们口头传诵,后来记录在棕榈叶或树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传,目前流传下来仅有7种,这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(sulva sūtrus,又译成绳法经),有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质,以及一些作图法等,在作一个正方形与已知圆等积的问题中,使用了圆周率的以下近似值: ,此外还用到 p = 3.004和p = 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取
       ?2 = 1 + 1/3 + 1/ (3×4) 1/ (3×4×34) = 1.414215686
    由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题,印度用算术方法给出求解公式。
耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成,流传下来的原始经典较少,不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注释。其中出现了许多计算公式,如圆周长 c = r?10 ,弧长 l = ? (a 2 + 6h 2 ) 等。
    关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学,可考资料非常少,值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的,书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利(bakhshali)手稿”。 其数学内容十分丰富,涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等,其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。特别值得注意的是该书使用了一些数学符号,如减号,将“12 7” 记成“12  7”,出现了10个完整的十进制数码,用点表示“0”.
    在数学中,“0”的意义是多方面的,它既表示“无”概念,又表示位值制记数法中的“空位”,而且是数域中最基本的一个元素,可以与其它数一起运算,同时还表示正负数的分界点。有一种流行的说法,认为印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文sūnya)有关,这种说法没有明确的根据,不过这种意义的确较早地出现于印度文明中。“0”作为记数法中的“空位”,在位值制记数方式的文明中不可缺少,只不过各种文明采取不同的方式,大部分文明没有引入数码而以空位表示,如巴比伦的契书、宋元以前的中国筹码记数等,印度人和玛雅人采用了符号,玛雅20进位制中的零用有似眼睛或贝壳的符号表示。公元前7-8世纪,印度人就普遍使用十进位值制记数法,婆罗米(brahmi)文字中出现过9个数码,梵文中都出现过,零最初也是用空格表示,后用点表示,用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,它最早出现于9世纪的瓜廖尔(gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟。印度人不仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数。公元773年,印度数码传入阿拉伯国家,后来欧洲人通过阿拉伯人接受了,成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。这种印度数码与记数法成为近世欧洲科学赖以进步的基础。中国唐朝印度裔天文历学家瞿昙悉达于718年翻译的印度历法《九执历》当中也有这些数码,可是未被中国人所接受。
    悉檀多(梵文siddhanta,原为佛教因明的术语,笈多)时代是印度数学的繁荣期时期,其数学内容主要是算术与代数,而且明显受到希腊数学的影响,出现了一些著名的数学家,如阿利耶波多(aryabhata i, 476-约550)、婆罗摩笈多(brahmagupta,598-665)、马哈维拉(mahavira, 9世纪)和婆什迦罗(bhaskaraⅡ,1114-约1185)等。
     现今所知有确切生年的印度最早数学家是阿耶波多,他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应,成为今天的习惯,同时他以半径的 作为度量弧的单位,实际是弧度制度量的开始。他还给出了第一象限内间隔为3?45'的正弦差值表。印度第一个正弦表是在年代距阿耶波多不远的天文著作《苏利耶历数全书》(sūrya siddhānta,佚名,约5世纪)中出现的。
    阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法,采用辗转相除法的演算程序,接近于连分数算法。为求方程 ax by  整数解,首先对ab使用辗转相除法得到系列商{qlq2q3,…,qn}以及相应的余数系列{r1r2r3,…,rn0}依法则:
              
    计算, 得到a / b的渐近分数序列: 
         
    有    
         ,    cn1ben1a = 1
    
  于是    是不定方程的特解。
    婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665),都含有大量的数学内容,其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理,9世纪马哈维拉和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识,提出了正负数的乘除法则。他曾利用色彩名称来作为未知数的符号,并给出二次方程的求根公式。婆罗摩笈多最突出的贡献是给出佩尔(pell)方程ax 2 + k = y 2 ( a 是非平方数)的一种特殊解法,名为“瓦格布拉蒂”。他的方法首先选择适当的整数 k k' ,分别找出 ax 2 + k = y 2 ax 2 + k' = y 2 的解(ab)与(a'b'  ),再做所谓“瑟马萨”(samāsa)的组合,得到: ,为ax2  + kk' = y2 的解。
     取 k = k ' , 若出 aa 2 + k = b2 ,则    是ax 2 + k = y 2 的解。于是 ,这样就得到ax 2 + 1 = y 2 的解: 
   
    婆罗摩笈多进一步指出,只要在 k = ±1,±2,±4的条件下,求得ax 2 + k = y 2的一组解(ab),就可得出ax 2 + 1 = y2无穷组解。
    婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表,给出下面的插值公式:
           sin(axh) = sina[dsinadsin(ah)]x / 2x2 [d2 sin(ah)]/2
          (其中h =15° ,x 1 ,  dsin(ah)  d2 sin(ah)分别表示一、二阶差分)

                                     婆罗摩笈多正弦差分表
                     角度   正弦线   一阶差   二阶差 
                       0      0        39      -3
                      15      39       36      -5
                      30      75       31      -7
                      45     106       24      -9
                      60     130       15      -10
                      75     145       5
                      90     150
婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为a,b,c,d 的四边形的面积公式:
        ? (pa) (pb) (pc) (pd) ,                     [ p = (a + b + c + d )/2 ].
    实际上,这一公式仅适合于圆内接四边形,婆罗摩笈多并未认识到这一点,后来马哈维拉由这一公式出发,将三角形视为有一边为0的四边形,从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。
    7世纪以后,印度数学出现了沉寂,到9世纪才又呈现出繁荣。如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起,那么9世纪以后发生的改变。耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(the ganita-sāra-sangraha of mahāvīrācārya)可以说是一部系统的数学专著,全书有九个部分:(1)算术术语,(2)算术运算,(3)分数运算,(4)各种计算问题,(5)三率法(即比例)问题,(6)混合运算,(7)面积计算,(8)土方工程计算,(9)测影计算。基本是对以往数学内容的总结和推广,书中给出了一般性的组合数 公式,而且给出椭圆周长近似公式:c = ? (24b 2 + 16a 2 ) .因其有很多问题和方法与中国《九章算术》相同或相近,从而有人认为他受到过《九章算术》或中国其它算书的影响。
    与马哈维拉同时代的施里德哈勒(sridhara, 9世纪)撰写的《计算概要》(ganita-sara)也是一本日用数学著作,内容基本与马哈维拉的《计算方法纲要》一致。
    婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家,长期在乌贾因负责天文台工作,他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》(līlāvatī)和《算法本源》,天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。关于《莉拉沃蒂》书名,有一个美丽动人的传说,称莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字(līlāvatī,原意是美丽的意思),占星家预言她终身不能结婚,也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日,他把一个底部有孔的杯子放入水中,从孔中慢慢渗入水的杯子沉没之时,就是他女儿的吉日来临之际。女儿带着好奇观看这只待沉的杯子,不想颈项上一颗珍珠落入杯中,正好堵塞了漏水的小孔,杯子也停止了继续下沉,这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁。婆什迦罗为了安慰女儿,把他所写的算书以她名字命名,以使她的名字随同这本书流芳百世。该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴(akbar,1556-1605在位)的授意下,由菲济(fyzi)译成波斯文。这个传说来源于菲济的记载。
   《莉拉沃蒂》共有13章:第一章给出算学中的名词术语;第二章是关于整数、分数的代数运算,包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等;第三章论各种计算法则和技巧;第四章关于利率等方面的应用题;第五章数列计算问题,主要是等差数列和等比数列;第六章关于平面图形的度量计算;第七至十章关于立体几何的度量计算;第十一章为测量问题;第十二章是一些代数问题,包括不定方程;第十三章是一些组合问题。该书有点和中国元末以后的算书类似,很多数学问题用歌谣的形式给出。《算法本源》主要是算术和代数著作。
婆什迦罗和其他印度数学家一样,对不定方程持有特别的兴趣,除对“库塔卡”问题外,他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对于 ,婆什迦罗首先选择适当的整数k,找出ax2 + k = y2的一组特解(?, ?),即a?2 + k = ?2,另外再找一个整数m,使(1,m)是ax2 +(m2 -a)= y2的一组特解,使用“瑟马萨”组合,得到 满足ax2 + k (m2 -a)= y2, 即 ,最后根据“库塔卡”方法,可以找到m使k? m?  + ?, 并且使? m2 -a ?最小。计算
          , , ,
则(1 ,1)是方程ax 2 + k1 = y2的解。用1 ,1,k1代替 ,,k,重复做上面的演算,若干次后就得到ax 2 + p = y2的特解(其中p = 1,2,4),再根据婆罗摩笈多的方法得到ax 2 + 1 = y2的无穷个解。
   婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式,在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数,讨论了形如 和 的无理数的平方根。
    由于印度屡被其他民族征服,使印度古代天文数学受外来文化影响较深,除希腊天文数学外,也不排除中国文化的影响,然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特色。与其算术和代数相比,印度人在几何方面的工作显得十分薄弱,最具特色与影响的成就是其不定分析和对希腊三角术的推进。

参考文献